Nonton Film Ramanujan Yuk!

Srinivasa Iyengar Ramanujan adalah seorang matematikawan India yang luar biasa unik. Lahir di India di awal abad 19 yang saat itu merupakan jajahan Inggris, tanpa pendidikan formal, belajar matematika secara otodidak, tapi bisa menghasilkan berbagai teori baru di matematika. Bahkan, springer membuat satu jurnal khusus bernama The Ramanujan Journal yang membahas semua area matematika yang dipengaruhi oleh Ramanujan.

Ada dua film yang membahas biografi Ramanujan. Film tahun 2016, The Man Who Knew Infinity, dibintangi oleh Dev Patel (The Slumdog Millionare) dan Jeremy Irons (Batman v Superman: Dawn of Justice).

Film tahun 2014, Ramanujan, dibuat oleh orang India sendiri dengan pemain campuran India dan Inggris. Film ini lebih lucu dan tentunya disertai dengan joged khas Bollywood.

 

Penjelasan Sederhana Akar Bersarang (Nested Radicals) Ramanujan

Ramanujan
Ramanujan

Hitunglah nilai dari \displaystyle x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots }}}}!

Jawabannya adalah 3. Berikut buktinya:

Angka 3 bisa ditulis sebagai berikut:

\displaystyle 3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}=\sqrt{1+2\cdot 4}

Sementara itu, angka 4 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 4=\sqrt{16}=\sqrt{1+15}=\sqrt{1+3\cdot 5}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}

Sementara itu, angka 5 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 5=\sqrt{25}=\sqrt{1+24}=\sqrt{1+4\cdot 6}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}

Sementara itu, angka 6 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 6=\sqrt{36}=\sqrt{1+35}=\sqrt{1+5\cdot 7}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot 7}}}}

Sementara itu, angka 7 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 7=\sqrt{49}=\sqrt{1+48}=\sqrt{1+6\cdot 8}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot 8}}}}}

Begitu seterusnya….

Pertanyaannya, bagaimana membuktikan bahwa pola ini akan terus berulang untuk sembarang nilai n?

Misalnya

  • untuk n = 6 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+6\cdot 8}=\sqrt{1+6\cdot \sqrt{1+7\cdot 9}}
  • untuk n = 7 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+7\cdot 9}=\sqrt{1+7\cdot \sqrt{1+8\cdot 10}}
  • untuk n = 8 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+8\cdot 10}=\sqrt{1+8\cdot \sqrt{1+9\cdot 11}}
  • untuk n = 9 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+9\cdot 11}=\sqrt{1+9\cdot \sqrt{1+10\cdot 12}}
  • untuk n = 10 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+10\cdot 12}=\sqrt{1+10\cdot \sqrt{1+11\cdot 13}}
  • untuk n akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+n\cdot \left( n+2 \right)}=\sqrt{1+n\cdot \sqrt{1+\left( n+1 \right)\cdot \left( n+2 \right)}}
  • dst

Dengan menyamakan kedua ruas, kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}1+n\left( n+2 \right)=1+n\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow \left( n+2 \right)=\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow {{\left( n+2 \right)}^{2}}=1+\left( {{n}^{2}}+4n+3 \right)\\\Leftrightarrow {{n}^{2}}+4n+4={{n}^{2}}+4n+3\end{array}

Terbukti bahwa \displaystyle \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+\ldots }}}}}=3

Sumber: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042704001906

http://www.isibang.ac.in/~sury/ramanujanday.pdf

Permainan Matematika Dengan Empat Angka 4

Dengan operasi empat angka 4, Anda bisa menghasilkan semua angka bulat. Berikut contoh bentuk untuk angka 1-9.

\displaystyle \begin{array}{l}\left( 4-4 \right)+\left( 4-4 \right)=0\\\left( \frac{4}{4} \right)+\left( 4-4 \right)=1\\\left( \frac{4}{4} \right)+\left( \frac{4}{4} \right)=2\\\frac{4\cdot 4-4}{4}=3\\\left( 4-4 \right)\times 4+4=4\\\frac{4\cdot 4+4}{4}=5\\\frac{4+4}{4}+4=6\\4+4-\frac{4}{4}=7\\4+4+4-4=8\\4+4+\frac{4}{4}=9\end{array}

Untuk angka lebih besar, digunakan operasi lebih lanjut seperti akar dan faktorial.

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{4!+4!+4!}{4}=18\\\Leftrightarrow \frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1+4\cdot 3\cdot 2\cdot 1+4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4}=18\\\Leftrightarrow \frac{24+24+24}{4}=18\\\Leftrightarrow \frac{72}{4}=18\end{array}

\displaystyle \begin{array}{l}~\frac{4}{4}\cdot 4!+\sqrt{4}=26\\\Leftrightarrow ~4\cdot 3\cdot 2\cdot 1+2=26\\\Leftrightarrow ~24+2=26\end{array}

Penulisan angka 4 bisa digabungkan menjadi 44 atau menjadi ,4 untuk 0,4. Misalnya pada angka berikut:

\displaystyle \frac{44}{4}+4=15

\displaystyle 4,4-,4=10

Untuk semua bilangan n, bisa digunakan pola seperti berikut:

\displaystyle n=-\sqrt{4}\frac{\ln \left[ \left( \ln \underbrace{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}_{n} \right)/\ln 4 \right]}{\ln 4}

Penjelasan pola di atas akan kami sampaikan dalam posting selanjutnya, Insya Allah.

Sumber:

http://mathforum.org/ruth/four4s.puzzle.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Four_fours

Bukti Kebenaran Teorema Phytagoras

Buktikan teorema phytagoras \displaystyle A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}.

bukti-teorema-phytagoras-0

Gambar sebuah garis tegak lurus sisi miring dan melalui titik A dengan memperhatikan besar sudut pada  titik sudut B dan C. Perhatikan bahwa \displaystyle \alpha +\beta =90{}^\circ dan \displaystyle MB+MC=BC

bukti-teorema-phytagoras-1

\displaystyle MB+MC=BC\text{      }\ldots \ldots \ldots \ldots \left( 1 \right)

Dengan memutar segitiga ABM dan memperhatikan besar sudut-sudutnya, kita bisa mengetahui bahwa segitiga ABM dan ABC sebangun.

bukti-teorema-phytagoras-2

Kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{AB}{MB}=\frac{BC}{AB}\\\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=MB\cdot BC\text{       }\ldots \ldots \ldots \ldots \left( 2 \right)\end{array}

Dengan memutar segitiga AMC dan memperhatikan besar sudut-sudutnya, kita bisa mengetahui bahwa segitiga AMC dan ABC sebangun.

bukti-teorema-phytagoras-3

Kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{AC}{MC}=\frac{BC}{AC}\\\Leftrightarrow A{{C}^{2}}=MC\cdot BC\text{       }\ldots \ldots \ldots \ldots \left( 3 \right)\end{array}

Dengan menjumlahkan persamaan (2) dan (3) serta substitusi dengan persamaan (1), kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=MB\cdot BC+MC\cdot BC\\\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=\left( MB+MC \right)\cdot BC\\\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=BC\cdot BC\\\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\end{array}

Terbukti bahwa

\displaystyle A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}

Kerja bagus, Pythagoras.

Pythagoras.jpg
Patung dada Phytagoras di Roma. Sumber: Wikipedia