Menghitung 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… (Deret Grandi)

Berapakah hasil dari 1-1+1-1+1-ldots ?

Pertanyaan ini pertama kali dipublikasikan oleh Guido Grandi dan kemudian dikenal sebagai Deret Grandi. Setidaknya, ada tiga jawaban yang mungkin yaitu 1, 0, atau frac{1}{2}.

Nol

Dengan mengelompokkan angka pertama dan kedua, ketiga dan keempat, kelima dan keenam, ketujuh dan kedelapan, dan seterusnya, diperoleh nol.

displaystyle begin{array}{l}1-1+1-1+1+1-1+1-1+ldots \Leftrightarrow left( 1-1 right)+left( 1-1 right)+left( 1-1 right)+left( 1-1 right)+left( 1-1 right)+ldots =0end{array}

Satu

Cara ini sama dengan di atas. Dengan mengelompokkan angka kedua dan ketiga, keempat dan kelima, keenam dan ketujuh, dan seterusnya, diperoleh satu.

displaystyle begin{array}{l}1-1+1-1+1+1-1+1-1+ldots \Leftrightarrow 1-left( 1-1 right)-left( 1-1 right)-left( 1-1 right)-left( 1-1 right)-left( 1-1 right)+ldots =1end{array}

Setengah

Nilai ini diperoleh dengan menyatakan deret ini sebagai variabel.

displaystyle begin{array}{l}S=1-1+1-1+1+1-1+1-ldots \S=1-(1-1+1-1+1+1-1+1-ldots )\S=1-S\2S=1\S=frac{1}{2}end{array}

Setengah Lebih Disukai Sebagai Jawaban Yang Benar

Ada perdebatan besar di antara para ahli matematika tentang hasilnya. Ini berlangsung hingga 150 tahun. Barulah di abad ke-19 para matematika mulai mendapatkan titik cerah. Kebanyakan dari mereka sepakat bahwa nilainya adalah displaystyle frac{1}{2}. Pembuktian pertama dilakukan dengan Penjumlahan Cesàro yang dihasilkan oleh ahli matematika Italia, Ernesto Cesàro.

Penjumlahan Cesàro

Metode ini diawali dari pemikiran bahwa deret jumlah konvergen tak hingga bisa diperoleh dengan menjumlahkan deret-deretnya secara parsial.

Untuk ilustrasi, kita gunakan teknik ini dalam menghitung deret displaystyle 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+ldots .

Kita bisa membuat deret baru yang menjumlahkan setiap deret setiap terpisah.

displaystyle begin{array}{l}1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}+frac{1}{64}+ldots \1,1+frac{1}{2},1+frac{1}{2}+frac{1}{4},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}+frac{1}{64},ldots \1,frac{3}{2},frac{7}{4},frac{15}{8},frac{31}{16},frac{63}{32},frac{127}{64},ldots \1,left( 1,5 right),(1,75),(1,875),(1,9375),(1,96875),(1,984375),ldots end{array}

Inilah rumus umum untuk jumlah parsial setiap deret: displaystyle sumlimits_{n=0}^{m}{{{2}^{-n}}}=frac{{{2}^{m+1}}-1}{{{2}^{m}}}.

Pada akhirnya, jumlah parsial deret ini akan semakin mendekati nilai dua ketika n semakin besar.

Namun, jika metode ini diterapkan pada Deret Grandi maka tidak akan memberikan hasil.

displaystyle begin{array}{l}1-1+1-1+1+1-1+1-ldots \1,1+left( -1 right),1+left( -1 right)+1,1+left( -1 right)+1+left( -1 right),1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+1,1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+ldots \1,0,1,0,1,0,ldots end{array}

Kita bisa melanjutkan jumlah deret parsial tadi dengan membuat rata-ratanya.

displaystyle begin{array}{l}1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}+frac{1}{64}+ldots \1,1+frac{1}{2},1+frac{1}{2}+frac{1}{4},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32},1+frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1}{32}+frac{1}{64},ldots \1,frac{3}{2},frac{7}{4},frac{15}{8},frac{31}{16},frac{63}{32},frac{127}{64},ldots \1,frac{1+frac{3}{2}}{2},frac{1+frac{3}{2}+frac{7}{4}}{3},frac{1+frac{3}{2}+frac{7}{4}+frac{15}{8}}{4},frac{1+frac{3}{2}+frac{7}{4}+frac{15}{8}+frac{31}{16}}{5},frac{1+frac{3}{2}+frac{7}{4}+frac{15}{8}+frac{31}{16}+frac{63}{32}}{6},frac{1+frac{3}{2}+frac{7}{4}+frac{15}{8}+frac{31}{16}+frac{63}{32}+frac{127}{64}}{7},ldots \1,frac{5}{4},frac{17}{12},frac{49}{32},frac{129}{80},frac{107}{64},frac{769}{448},ldots \1,left( 1,25 right),left( 1,53125 right),left( 1,6125 right),left( 1,671875 right),left( text{1}text{,716517857142857} right),ldots end{array}

Nilai ini akan semakin mendekati dua.

Metode ini bisa kita gunakan pada Deret Grandi.

displaystyle begin{array}{l}1-1+1-1+1+1-1+1-ldots \1,1+left( -1 right),1+left( -1 right)+1,1+left( -1 right)+1+left( -1 right),1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+1,1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+1+left( -1 right)+ldots \1,0,1,0,1,0,ldots \1,frac{1+0}{2},frac{1+0+1}{3},frac{1+0+1+0}{4},frac{1+0+1+0+1}{5},frac{1+0+1+0+1+0}{6},ldots \1,frac{1}{2},frac{2}{3},frac{2}{4},frac{3}{5},frac{3}{6},ldots \1,left( 0,5 right),left( 0,6666 right),left( 0,5 right),(0,6),(0,5),ldots end{array}

Pada akhirnya, hasil akan terus mendekati displaystyle frac{1}{2}.

Eksperimen dengan Lampu

Bagaimana seandainya kita melakukan deret Grandi dalam dunia nyata? Kita lakukan percobaan bahwa jika kita peroleh 1, maka lampu dinyalakan. Jika peroleh 0, maka lampu dimatikan.

  • Pertama mulai, kita memperoleh 1. Jadi kita nyalakan lampu.
  • Setelah 1 menit kita memperoleh 0, maka lampu dimatikan.
  • Setelah ½ menit kita memperoleh 1, maka lampu dinyalakan.
  • Setelah ¼ menit kita memperoleh 0, maka lampu dimatikan.
  • Setelah 1/8 menit kita memperoleh 1, maka lampu dinyalakan.
  • Setelah 1/16 menit kita memperoleh 0, maka lampu dimatikan.
  • Setelah 1/32 menit kita memperoleh 1, maka lampu dinyalakan.
  • Setelah 1/64 menit kita memperoleh 0, maka lampu dimatikan.
  • Setelah 1/128 menit kita memperoleh 1, maka lampu dinyalakan.
  • Seterusnya…

Percobaan ini akan selesai dalam waktu dua menit. Ini diperoleh dari jumlah deret tak hingga yang telah kita hitung sebelumnya.

Penjumlahan ini juga bisa dibuktikan dalam Dichotomy paradoks.

Apa yang terjadi setelah dua menit percobaan itu? Jika diakhir percobaan ini lampu menyala maka diperoleh nol. Jika lampu mati, maka hasil yang diperoleh adalah satu. Bagaimana dengan ½? Apakah lampunya setengah menyala?

Jawaban Yang Benar?

Semoga perhitungan ini bisa memancing rasa keingintahuan Anda. Wallahu a’lam.

Catatan: Jawaban ini terinspirasi dari video menarik Dr James Grime di YouTube.

Advertisements

One thought on “Menghitung 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… (Deret Grandi)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s