Soal Aljabar Olimpiade Matematika

Berikut adalah salah satu soal menarik dari Olimpiade Sains Nasional Matematika Tingkat Kota 2013.

Soal

displaystyle left( 1-frac{1}{{{2}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{3}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{4}^{2}}} right)cdots left( 1-frac{1}{{{2003}^{2}}} right)

Penyelesaian

displaystyle left( 1-frac{1}{{{2}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{3}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{4}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{5}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{6}^{2}}} right)cdots left( 1-frac{1}{{{2003}^{2}}} right)

Yang perlu kita lakukan adalah mencoba menghitung informasi yang ada. Jangan dulu memikirkan kerumitan soal ini. Lihat saja adakah pola tertentu yang akan kita peroleh?

left( 1-frac{1}{{{2}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{4} right)=frac{3}{4}
left( 1-frac{1}{{{3}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{9} right)=frac{8}{9}
left( 1-frac{1}{{{4}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{16} right)=frac{15}{16}
left( 1-frac{1}{{{5}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{25} right)=frac{24}{25}
left( 1-frac{1}{{{6}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{36} right)=frac{35}{36}
left( 1-frac{1}{{{7}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{49} right)=frac{48}{49}

Secara umum, kita akan temukan bahwa untuk urutan bilangan ke n-1, maka kita peroleh pola seperti ini.

left( 1-frac{1}{{{n}^{2}}} right)=frac{{{n}^{2}}-1}{{{n}^{2}}}

Artinya, kita juga bisa menuliskan soal di atas seperti berikut:

frac{3}{4}times frac{8}{9}times frac{15}{16}times frac{24}{25}times frac{35}{36}times frac{48}{49}times frac{63}{64}times frac{80}{81}times frac{99}{100}times cdots times frac{{{2002}^{2}}-1}{{{2002}^{2}}}times frac{{{2003}^{2}}-1}{{{2003}^{2}}}

Sayangnya, kita tidak bisa menemukan pola yang mempermudah proses perhitungan soal ini.

Kembali lagi ke kertas buram. Mungkin Anda masih ingat bahwa kita bisa memecah selisih kuadrat sebagai perkalian jumlah dan kurangnya.

left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} right)=left( a-b right)left( a+b right)

Prinsip ini bisa kita gunakan pada soal dengan melihat kedua bilangan yang dikurangi sebagai angka kuadrat.

left( 1-frac{1}{{{2}^{2}}} right)=left( {{1}^{2}}-{{left( frac{1}{2} right)}^{2}} right)=left( 1-frac{1}{2} right)left( 1+frac{1}{2} right)

Begitu juga untuk angka berikutnya.

left( 1-frac{1}{{{3}^{2}}} right)=left( {{1}^{2}}-{{left( frac{1}{3} right)}^{2}} right)=left( 1-frac{1}{3} right)left( 1+frac{1}{3} right)

left( 1-frac{1}{{{4}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{4} right)left( 1+frac{1}{4} right)
left( 1-frac{1}{{{5}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{5} right)left( 1+frac{1}{5} right)
left( 1-frac{1}{{{6}^{2}}} right)=left( 1-frac{1}{6} right)left( 1+frac{1}{6} right)

Kita tuliskan ulang soal seperti berikut.

left( 1-frac{1}{2} right)left( 1+frac{1}{2} right)left( 1-frac{1}{3} right)left( 1+frac{1}{3} right)left( 1-frac{1}{4} right)left( 1+frac{1}{4} right)left( 1-frac{1}{5} right)left( 1+frac{1}{5} right)left( 1-frac{1}{6} right)left( 1+frac{1}{6} right)cdots left( 1-frac{1}{2002} right)left( 1+frac{1}{2002} right)left( 1-frac{1}{2003} right)left( 1+frac{1}{2003} right)

Di sini mulai kita peroleh pola yang bermanfaat. Hitung hasil perkalian setiap pengurangan dalam tanda kurung antara suku ke-2 dengan ke-3, ke-4 dengan ke-5, ke-6 dengan ke-7, dan seterusnya.

left( 1+frac{1}{2} right)left( 1-frac{1}{3} right)=left( frac{3}{2} right)left( frac{2}{3} right)=1

Hasil perkalian suku ke-4 dengan ke-5.

left( 1+frac{1}{3} right)left( 1-frac{1}{4} right)=left( frac{4}{3} right)left( frac{3}{4} right)=1

left( 1+frac{1}{4} right)left( 1-frac{1}{5} right)=left( frac{5}{4} right)left( frac{4}{5} right)=1
left( 1+frac{1}{5} right)left( 1-frac{1}{6} right)=left( frac{6}{5} right)left( frac{5}{6} right)=1

Berlanjut hingga perkalian dua suku terakhir minus satu.

left( 1+frac{1}{2002} right)left( 1-frac{1}{2003} right)=left( frac{2003}{2002} right)left( frac{2002}{2003} right)=1

Semua perkalian bernilai satu. Selanjutnya, memasukkan hasil perkalian tadi ke dalam soal.

displaystyle left( frac{1}{2} right)times 1times 1times 1times 1times cdots times 1times left( 1+frac{1}{2003} right)=left( frac{1}{2} right)left( frac{2004}{2003} right)=frac{1002}{2003}

Hasilnya adalah:

displaystyle left( 1-frac{1}{{{2}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{3}^{2}}} right)left( 1-frac{1}{{{4}^{2}}} right)cdots left( 1-frac{1}{{{2003}^{2}}} right)=frac{1002}{2003}

Referensi: Juara Olimpiade Matematika, Al Jupri dan Rohma Mauhibah, Pandamedia, 2014.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s