Soal Olimpiade Matematika, Menghitung Luas Dua Lingkaran Sepusat

Soal ini diambil dari South African Mathematics Olympiad 2011, ronde kedua. Bagi pelajar setingkat SMA, soal ini cukup membingungkan karena modelnya tidak pernah muncul baik dalam UN atau SMPTN. Walaupun begitu, pengerjaannya sangat sederhana. Hanya mengandalkan konsep sederhana.

Soal: Perhatikan gambar.

Berapa luas daerah diarsir?

Berapa luas daerah diarsir?

ST adalah garis singgung lingkaran kecil yang sepusat dengan lingkaran besar. Jika ST = 40 cm, maka tentukanlah luas daerah yang diarsir.

Jawab:

Untuk soal semacam ini, mulailah dengan membuat gambar atau sketsa dan lihatlah konsep apa yang bisa kita peroleh.

Mulai dengan menggambar dan gunakan konsep dasar.

Mulai dengan menggambar dan gunakan konsep dasar.

Kita akan melihat bahwa garis singgung ST pasti akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran kecil yang disinggungnya. Dari sini, kita peroleh sebuah segitiga siku-siku yang memenuhi teorema pytaghoras. Dengan R adalah jari-jari lingkaran besar dan r adalah jari-jari lingkaran kecil, maka

displaystyle begin{array}{l}{{left( frac{ST}{2} right)}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\{{20}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}-{{r}^{2}}=400end{array}

Kita baru saja memperoleh persamaan pertama.

Selanjutnya kita bisa menghitung luas kedua lingkaran besar kecil. Luas lingkaran besar adalah displaystyle pi {{R}^{2}}, dan luas lingkaran kecil displaystyle pi {{r}^{2}}. Luas daerah diarsir adalah selisih antara keduanya.

displaystyle begin{array}{l}L=pi {{R}^{2}}-pi {{r}^{2}}\L=pi left( {{R}^{2}}-{{r}^{2}} right)\{{R}^{2}}-{{r}^{2}}=400\L=pi times 400\L=400pi end{array}

Sehingga luas daerah diarsir tersebut adalah displaystyle 400pi .

Referensi: Juara Olimpiade Matematika SMA, Al Jupri dan Rohma Mauhibah, 2014.

Advertisements

One thought on “Soal Olimpiade Matematika, Menghitung Luas Dua Lingkaran Sepusat

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s