1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12

Ternyata, hasil perhitungan menyatakan bahwa jumlah semua bilangan asli (bilangan bulat positif) adalah -\frac{1}{12}.

displaystyle 1+2+3+4+5+cdots =-frac{1}{12}

displaystyle sumlimits_{i=1}^{infty }{n}=-frac{1}{12}

Pembuktian

Untuk membuktikan ini, secara bertahap kita akan menghitung tiga buah deret tak hingga.

Pertama adalah jumlah dari displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+cdots . Kita sebut ini displaystyle {{S}_{1}}.

displaystyle {{S}_{1}}=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+cdots

Kedua adalah jumlah dari deret tak hingga displaystyle 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+cdots . Kita sebut ini displaystyle {{S}_{2}}

displaystyle {{S}_{2}}=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+cdots

Ketiga, barulah kita bisa menghitung jumlah bilangan asli positif yang kita cari, displaystyle 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+cdots . Kita sebut sebagai displaystyle {{S}_{3}}.

displaystyle {{S}_{3}}=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+cdots

Menghitung Jumlah Deret Pertama

Untuk deret pertama ini, kita sudah membahasnya panjang lebar di artikel Deret Grandi. Hasilnya adalah displaystyle frac{1}{2}.

displaystyle {{S}_{1}}=frac{1}{2}

Menghitung Jumlah Deret Kedua

Untuk deret kedua, kita mulai dengan mengalikannya dengan dua.

displaystyle 2{{S}_{2}}={{S}_{2}}+{{S}_{2}}

Jika kita jabarkan, akan seperti berikut:

displaystyle 2{{S}_{2}}=left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+cdots right)+left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+cdots right)

Namun, untuk memudahkan perhitungan kita simpan kedua deret ini dengan cara yang unik. Yaitu, dengan menggeser posisinya.

Jumlah kedua deret.
Jumlah kedua deret.

displaystyle 2{{S}_{2}}=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1+cdots

Nilai ini sudah kita ketahui sebagai jumlah dari displaystyle {{S}_{1}}.

displaystyle 2{{S}_{2}}={{S}_{1}}=frac{1}{2}

Memberikan hasil sebagai berikut:

displaystyle begin{array}{l}2{{S}_{2}}={{S}_{1}}=frac{1}{2}\{{S}_{2}}=frac{1}{4}end{array}

Menghitung Jumlah Deret Ketiga, Deret Bilangan Asli Positif

Terakhir, kita bisa menghitung jumlah bilangan asli dengan menggabungkan deret kedua dan ketiga.

displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=left( 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+cdots right)-left( 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+cdots right)

Untuk mempermudah perhitungan, kita simpan keduanya dalam dua barisan terpisah dan menghitung setiap suku yang bersesuaian.

Jumlah dua deret kedua.
Jumlah dua deret kedua.

displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4+8+12+16+20+cdots

Kita faktorkan angka 4 ke luar persamaan.

displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4left( 1+2+3+4+5+cdots right)

Menghasilkan deret displaystyle {{S}_{3}} di dalam persamaan.

displaystyle {{S}_{3}}-{{S}_{2}}=4{{S}_{3}}

Dengan perhitungan sederhana, akhirnya menghasilkan nilai displaystyle -frac{1}{12}.

displaystyle begin{array}{l}-3{{S}_{3}}={{S}_{2}}\-3{{S}_{3}}=frac{1}{4}\{{S}_{3}}=-frac{1}{12}\Rightarrow 1+2+3+4+5+cdots =-frac{1}{12}end{array}

Referensi:

http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s