Latihan Soal Geometri Olimpiade SMA

Kali ini, kami akan menyajikan satu soal setara olimpiade SMA dengan tema geometri.

SOAL:
Tersedia selembar kertas berukuran 100 cm × 50 cm. Dari kertas tersebut akan dibuat dua buah setengah lingkaran dengan jari-jari yang sama. Berapakah panjang maksimal jari-jari setengah lingkaran yang bisa dihasilkan?

JAWAB:

Langkah pertama adalah dengan menganalisa posisi terbaik kedua setengah lingkaran dalam kertas untuk menghasikan ukuran terbesar. Ternyata, setelah analisa singkat, ukuran maksimal akan kita temukan ketika kedua setengah lingkaran saling berhadapan seperti tergambar dalam gambar F.

Kemungkinan posisi setengah lingkaran dalam kertas.

Kemungkinan posisi setengah lingkaran dalam kertas.

Perlu dicatat bahwa sketsa-sketsa di atas menggunakan proporsi ukuran kertas sesuai dengan soal. Jika ukuran kertasnya berbeda, posisi optimal mungkin sekali akan berbeda pula.

Dari sini, kita akan memperoleh informasi seperti dalam gambar berikut. Diasumsikan bahwa jari-jari setengah lingkaran adalah r.

Ukuran maksimal.

Ukuran maksimal.

Sekarang kita mulai memasuki perhitungan. Yang cukup rumit adalah menentukan permodelan yang tepat. Untuk menemukan solusinya kita harus memanfaatkan sebanyak mungkin informasi yang telah dimiliki, yaitu tinggi kertas (50 cm), lebar kertas (100 cm), dan jari-jari setengah lingkaran (r).

Melalui gambar ada satu variabel lagi yang perlu dicari, yaitu x. Nilai x ini bisa kita bandingkan dengan info yang sudah ada sebelumnya menjadi displaystyle x=100-3r.

Mulai menghitung.

Mulai menghitung.

Melalui Teorema Pythagoras, kita bisa memperoleh persamaan berikut:

displaystyle {{50}^{2}}+{{left( x+r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}

Sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa displaystyle x=100-3r, maka

displaystyle begin{array}{l}{{50}^{2}}+{{left( left[ 100-3r right]+r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}\{{50}^{2}}+{{left( 100-2r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}\2500+left( 10000-400r+4{{r}^{2}} right)=4{{r}^{2}}\12500-400r+4{{r}^{2}}=4{{r}^{2}}\12500=400r\r=frac{12500}{400}\therefore r=frac{125}{4}end{array}

Jadi, dari sebuah kertas berukuran 100 cm × 50 cm kita bisa membuat dua buah setengah lingkaran dengan jari-jari maksimalnya displaystyle frac{125}{4} cm.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s