Soal Titik Stationer UMPTN 97

Kali ini, kami mengambil satu soal tentang titik stationer dari UMPTN 1997.

Soal:

Soal UMPTN 97
Soal UMPTN 97

Sebuah pintu berbentuk seperti tergambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan ….

A. \displaystyle \frac{p}{\pi }

B. \displaystyle p-\frac{\pi}{4}

C. \displaystyle \frac{p}{4+\pi}

D. \displaystyle \frac{p}{4}+\pi

E. \displaystyle \frac{p}{4\pi }

Jawab:

Kita mengetahui bahwa di atas persegi panjang terdapat setengah lingkaran, diameter lingkaran sama dengan lebar persegi panjang.  Jika kita asumsikan jari-jarinya adalah r, maka \displaystyle r=x.

Perhatikan jari-jari lingkaran.
Perhatikan jari-jari lingkaran.

Luas pintu adalah luas setengah lingkaran dan persegi panjang di bawahnya.

Luas persegi panjang: \displaystyle {{L}_{2}}=2xy

Luas setengah lingkaran: \displaystyle {{L}_{1}}=\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}

Luas total: \displaystyle L=2xy+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}

Sudah diketahui bahwa kelilingnya adalah p. Kita kaitkan dengan informasi yang telah ada sebelum ini, yaitu panjang persegi, lebar, dan keliling setengah lingkaran.

\displaystyle K=2x+2y+\pi x=p

Selanjutnya, kita bisa membuat persamaan untuk y.

\displaystyle 2y=p-2x-\pi x

Agar luas maksimum, turunan fungsi harus sama dengan nol. Sebelumnya, kita sederhanakan persamaan luas yang ada.

\displaystyle \begin{array}{l}L=2xy+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=x\cdot 2y+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=x\left( p-2x-\pi x \right)+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-2{{x}^{2}}-\pi {{x}^{2}}+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-2{{x}^{2}}-\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-\left( 2+\frac{1}{2}\pi \right){{x}^{2}}\end{array}

Fungsi turunannya cukup sederhana.

\displaystyle \begin{array}{l}{L}'=p-2\left( 2+\frac{1}{2}\pi \right)x\\\text{ }=p-\left( 4+\pi \right)x\end{array}

Agar luasnya maksimum, nilai fungsi turunan harus dibuat nol.

\displaystyle \begin{array}{l}{L}'=0\\\Leftrightarrow \text{ }p-\left( 4+\pi \right)x=0\\\Leftrightarrow x=\frac{p}{4+\pi }\end{array}

Dari sini, kita temukan bahwa nilai x adalah \displaystyle x=\frac{p}{4+\pi }

Jawaban: C

Advertisements

One thought on “Soal Titik Stationer UMPTN 97

  1. kok gak jelas ya caranya. ada kode2nya itu yang bikin gak tahu, padahal butuh banget…
    sunting ya minn,pleasee 😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s