Manakah Yang Lebih Luas, Persegi Panjang Atau Segitiga Berisi 6 Lingkaran?

Semua lingkaran ini berukuran sama. Manakah yang lebih luas, persegi panjang ataukah segitiga?

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-1.jpg

Manakah yang lebih luas?

Jawaban:

Kita asumsikan bahwa semua lingkaran ini memiliki radius \displaystyle r.

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-2.jpg

Asumsikan semua lingkaran memiliki radius r

1. Menghitung Luas Persegi Panjang

Bagian ini lebih mudah. Dengan cepat, kita bisa memperoleh panjang dan lebar persegi panjang dalam \displaystyle r.

Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.

Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.

\displaystyle \text{Luas Persegi Panjang }=panjang\cdot lebar=6r\cdot 4r=24{{r}^{2}}

2. Menghitung Luas Segitiga

Bersiap-siap karena yang ini jauh lebih sulit.

Ini jelas lebih sulit.

Ini jelas lebih sulit.

Perhatikan bentuk ADFCKL yang terdiri dari dua segitiga identik (CKF dan LDA) dan sebuah persegi panjang LDFK.

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.

Perhatikan bahwa garis KF pasti tegak lurus pada sisi segitiga yang menyinggung lingkaran. Panjangnya sendiri adalah jari-jari lingkaran, \displaystyle r.

Menghitung luas persegi panjang LDFK.

Menghitung luas persegi panjang LDFK.

\text{Luas }LDFK=panjang\cdot lebar
=4r\cdot r
=4{{r}^{2}}

Garis CF memotong tepat di tengah-tengah sudut C. Karena sudut di segitiga sama kaki ini 60°, maka sudut KCF adalah 30°. Dengan aturan trigonometri dasar, kita bisa menghitung panjang setiap sisinya untuk kemudian menghitung luasnya.

Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.

Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.

\displaystyle \sin 30{}^\circ =\frac{KF}{CF}
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{r}{CF}
\displaystyle CF=2r

\displaystyle \sin 60{}^\circ =\frac{CK}{CF}
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{2r}
\displaystyle CK=\sqrt{3}r

\displaystyle \text{Luas }\vartriangle KFC=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot CK\cdot KF
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}r\cdot r
\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.

Luas bentuk ini, ADFCKL, adalah luas total dari dua segitiga identik dan persegi panjang.

Luas ADFCKL adalah:

\displaystyle \text{Luas }ADFCKL=\text{Luas }LDFK+\text{Luas }\vartriangle ADL+\text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =\text{Luas }LDFK+2\cdot \text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =4{{r}^{2}}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}

Selanjutnya adalah menghitung luas segitiga di bagian dalam. Kita cukup menggunakan aturan Phytaghoras untuk mencari tinggi segitiga.

Menghitung segitiga di bagian dalam.

Menghitung segitiga di bagian dalam.

D{{M}^{2}}+M{{F}^{2}}=D{{F}^{2}}
{{\left( 2r \right)}^{2}}+M{{F}^{2}}={{\left( 4r \right)}^{2}}
4{{r}^{2}}+M{{F}^{2}}=16{{r}^{2}}
M{{F}^{2}}=12{{r}^{2}}
MF=2\sqrt{3}r

Dengan rumus standar luas segitiga, kita peroleh luasnya.

\text{Luas }\vartriangle DEF=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot MF
=\frac{1}{2}\cdot 4r\cdot 2\sqrt{3}r
=4\sqrt{3}{{r}^{2}}

Untuk menghitung luas seluruh segitiga, kita cukup menggunakan informasi yang sudah ada. Bentuk ABED dan EBCF memiliki luas yang sama dengan bentuk ADFC

Menghitung luas seluruh segitiga.

Menghitung luas seluruh segitiga.

Luas\vartriangle ABC=3\cdot \text{Luas }ADFC+\text{Luas }\vartriangle DEF
\displaystyle =3\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3}+4\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+7\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}

Kesimpulan

Jadi, luas segitiga (\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}) sedikit lebih besar daripada persegi panjang (24{{r}^{2}}).

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s