Soal Tes MIT 1869 Menghitung Panjang Sisi Segitiga

Soal berikut diklaim sebagai tes masuk ke MIT pada 1869. Bisakah Anda menghitungnya?

Hitung panjang yang bertanda "?"

Jawaban

Cara I: Teorema Phytagoras

2

Melalui teorema Phytagoras, kita peroleh.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\{{b}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 9+16 \right)}^{2}}\end{array}

Dengan menggabungkan ketiga persamaan di atas, kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 9+16 \right)}^{2}}\\\left( {{b}^{2}}+{{9}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}+{{16}^{2}} \right)={{9}^{2}}+2\cdot 9\cdot 16+{{16}^{2}}\\2{{b}^{2}}+{{9}^{2}}+{{16}^{2}}=2\cdot 9\cdot 16+{{9}^{2}}+{{16}^{2}}\\2{{b}^{2}}=2\cdot 9\cdot 16\\{{b}^{2}}=144\\b=\pm 12\end{array}

Karena panjang tidak mungkin negatif, maka

\displaystyle b=12

Selanjutnya, nilai lain bisa dihitung.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\{{12}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\225={{a}^{2}}\\\Rightarrow a=15\\{{b}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\{{12}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\400={{c}^{2}}\\\Rightarrow c=20\end{array}

Maka, panjang a, b, dan c adalah 15, 12, dan 20.

Cara II: Trigonometri

3

Melalui definisi sin dan cos, kita peroleh

\displaystyle \sin \alpha =\frac{a}{9+16}=\frac{9}{a}

dan

\displaystyle \cos \alpha =\frac{16}{c}=\frac{c}{9+16}

Maka, kita bisa menghitung nilai a sebagai berikut

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{a}{9+16}=\frac{9}{a}\\{{a}^{2}}=9\left( 9+16 \right)\\{{a}^{2}}=225\\\Rightarrow a=15\end{array}

Kita juga bisa menghitung nilai c sebagai berikut

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{16}{c}=\frac{c}{9+16}\\{{c}^{2}}=16\left( 9+16 \right)\\{{c}^{2}}=400\\\Rightarrow c=20\end{array}

Nilai b diperoleh melalui perhitungan sederhana dengan teorema Phytagoras.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}={{20}^{2}}-{{16}^{2}}=144\\\Rightarrow b=12\end{array}

Maka, panjang a, b, dan c adalah 15, 12, dan 20.

Cara II: Kesebangunan

Untuk cara ini, Anda harus mengutar ulang posisi segitiga dengan mengacu pada sudut yang sama.

4

Mengatur ulang posisi segitiga.

Selanjutnya, kita peroleh perbandingan

\displaystyle \begin{array}{l}\frac{16}{b}=\frac{b}{9}\\{{b}^{2}}=16\cdot 9=144\\\Rightarrow b=12\end{array}

Dengan diketahuinya nilai b, maka kita bisa menghitung nilai lain.

5

\displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{9}^{2}}\\{{a}^{2}}={{12}^{2}}+{{9}^{2}}\\{{a}^{2}}=225\\\Rightarrow a=15\end{array}

\displaystyle \begin{array}{l}{{c}^{2}}={{b}^{2}}+{{16}^{2}}\\{{c}^{2}}={{12}^{2}}+{{16}^{2}}\\{{c}^{2}}=400\\\Rightarrow c=20\end{array}

Maka, panjang a, b, dan c adalah 15, 12, dan 20.

Cara IV: Coba-coba

Cara ini untung-untungan, tidak akan berlaku untuk semua kasus.

Ingat bahwa perbandingan segitiga siku-siku yang sering digunakan dalam adalah 3:4:5.

6

Contoh segitiga dengan perbandingan panjang sisinya 3:4:5 adalah

  • 3 cm: 4 cm: 5 cm
  • 6 cm: 8 cm: 10 cm
  • 9 cm: 12 cm: 15 cm

7

Panjang sisi miring di atas adalah 25 (9+16), kita asumsikan merupakan kelipatan dari 5 dari 5 untuk proporsi 3:4:5, maka sisi lain seharusnya 15 dan 20. Kita asumsikan segitiga memiliki panjang sisi-sisi 15: 20: 25.

Perlu kita bandingkan dengan segitiga lebih kecil. Segitiga kecil berarti memiliki panjang sisi-sisi 9: b: 12. Maka, diperoleh panjang b adalah 12.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}={{15}^{2}}-{{9}^{2}}=144\\\Rightarrow b=12\end{array}

Selanjutnya, konfirmasi terhadap segitiga lebih besar. Kita peroleh nilai ini ternyata benar juga.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}={{20}^{2}}-{{16}^{2}}=144\\\Rightarrow b=12\end{array}

Maka, asumsi awal kita benar. Segitiga memiliki panjang sisi-sisi 15: 20: 25. Maka, panjang sisi a, b, dan c memang 15: 12: 20.

Sumber: https://www.facebook.com/IloveMathematics91/photos/a.601527433214764.1073741825.601278736572967/1455145954519570/?type=3

Terima kasih untuk SatriyoGespenst Schatten, dan Ali Ahmadi.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s