Penjelasan Sederhana Akar Bersarang (Nested Radicals) Ramanujan

Ramanujan
Ramanujan

Hitunglah nilai dari \displaystyle x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots }}}}!

Jawabannya adalah 3. Berikut buktinya:

Angka 3 bisa ditulis sebagai berikut:

\displaystyle 3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}=\sqrt{1+2\cdot 4}

Sementara itu, angka 4 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 4=\sqrt{16}=\sqrt{1+15}=\sqrt{1+3\cdot 5}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}

Sementara itu, angka 5 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 5=\sqrt{25}=\sqrt{1+24}=\sqrt{1+4\cdot 6}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}

Sementara itu, angka 6 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 6=\sqrt{36}=\sqrt{1+35}=\sqrt{1+5\cdot 7}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot 7}}}}

Sementara itu, angka 7 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 7=\sqrt{49}=\sqrt{1+48}=\sqrt{1+6\cdot 8}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot 8}}}}}

Begitu seterusnya….

Pertanyaannya, bagaimana membuktikan bahwa pola ini akan terus berulang untuk sembarang nilai n?

Misalnya

  • untuk n = 6 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+6\cdot 8}=\sqrt{1+6\cdot \sqrt{1+7\cdot 9}}
  • untuk n = 7 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+7\cdot 9}=\sqrt{1+7\cdot \sqrt{1+8\cdot 10}}
  • untuk n = 8 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+8\cdot 10}=\sqrt{1+8\cdot \sqrt{1+9\cdot 11}}
  • untuk n = 9 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+9\cdot 11}=\sqrt{1+9\cdot \sqrt{1+10\cdot 12}}
  • untuk n = 10 akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+10\cdot 12}=\sqrt{1+10\cdot \sqrt{1+11\cdot 13}}
  • untuk n akan diperoleh \displaystyle \sqrt{1+n\cdot \left( n+2 \right)}=\sqrt{1+n\cdot \sqrt{1+\left( n+1 \right)\cdot \left( n+2 \right)}}
  • dst

Dengan menyamakan kedua ruas, kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}1+n\left( n+2 \right)=1+n\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow \left( n+2 \right)=\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=\sqrt{1+\left( n+1 \right)\left( n+3 \right)}\\\Leftrightarrow {{\left( n+2 \right)}^{2}}=1+\left( {{n}^{2}}+4n+3 \right)\\\Leftrightarrow {{n}^{2}}+4n+4={{n}^{2}}+4n+3\end{array}

Terbukti bahwa \displaystyle \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+\ldots }}}}}=3

Sumber: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042704001906

http://www.isibang.ac.in/~sury/ramanujanday.pdf

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s