Memperoleh Nilai e Melalui Bunga Majemuk

Nilai e bisa Anda pahami dalam cerita berikut yang berkaitan dengan tabungan dan bunga majemuk.

Anda menabung Rp1,00 di sebuah bank yang sangat dermawan. Setiap tahun, bank memberi Anda bunga 100%.

Setelah satu tahun, Anda memperoleh, Rp2,00. Pada tahun kedua, Anda memperoleh Rp4,00. Dan seterusnya.

  1. Tahun 1: \displaystyle 1,00\left( 1+100\% \right)=2,00

Bagaimana seandainya penghitungan bunga dibagi dua untuk setiap semester? Setiap 6 bulan, diberikan bunga \displaystyle \frac{100}{2}\%=50\%.

  1. Bulan ke-6: \displaystyle 1,00\left( 1+50\% \right)=1,50
  2. Bulan ke-12: \displaystyle 1,50\left( 1+50\% \right)=1,50+0,75=2,25

Ternyata bunga yang diperoleh lebih besar. Bagaimana jika jangka waktu pemberian bunga diperpendek lagi, jadi setiap 3 bulan dengan bunganya sebesar \displaystyle \frac{100}{4}\%=25\%. Akankah hasilnya lebih besar lagi?

  1. Bulan ke-3: \displaystyle 1,00\left( 1+25\% \right)=1,00+0,25=1,25
  2. Bulan ke-6: \displaystyle 1,25\left( 1+25\% \right)=1,25+0,3125=1,5625
  3. Bulan ke-9: \displaystyle 1,5625\left( 1+25\% \right)=1,5625+0,390625=1,953125
  4. Bulan ke-12: \displaystyle 1,953125\left( 1+25\% \right)=1,953125+0,48828125=2,44140625

Ternyata lebih besar lagi.

Kita menemukan pola berkaitan dengan jumlah pembagian bunganya seperti berikut:

  1. Pembagian bunga 1 kali, maka bunganya \displaystyle \frac{100}{1}\%=100\%=1 dan hasilnya \displaystyle ={{\left( 1+\frac{100}{1}\% \right)}^{1}}.
  2. Pembagian bunga 2 kali, maka bunganya \displaystyle \frac{100}{2}\%=50\%=0,5 dan hasilnya \displaystyle ={{\left( 1+\frac{100}{2}\% \right)}^{2}}
  3. Pembagian bunga 4 kali, maka bunganya \displaystyle \frac{100}{4}\%=25\%=\frac{1}{4} dan hasilnya \displaystyle ={{\left( 1+\frac{100}{4}\% \right)}^{4}}
  4. Pembagian bunga n kali, maka bunganya \displaystyle \frac{100}{n}\%=\frac{1}{n}  dan hasilnya \displaystyle ={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}

Dengan menggunakan pola di atas, kita bisa menghitung hasil yang diperoleh jika bunga dibagi setiap bulan, artinya sebanyak 12 kali, diperoleh

\displaystyle {{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=\text{2}\text{,613035}\ldots

Seandainya dibagi setiap hari, artinya sebanyak 365 kali, diperoleh

\displaystyle {{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=\text{2}\text{,7145674820}\ldots

Seandainya dibagi setiap jam, artinya sebanyak \displaystyle 365\times 24 kali, diperoleh

\displaystyle {{\left( 1+\frac{1}{365\times 24} \right)}^{365\times 24}}=\text{2}\text{,7181266916204521189}\ldots

Seandainya dibagi setiap menit, artinya sebanyak \displaystyle 365\times 24\times 60 kali, diperoleh

\displaystyle {{\left( 1+\frac{1}{365\times 24\times 60} \right)}^{365\times 24\times 60}}=\text{2}\text{,718279242579015099009}\ldots

Seandainya dibagi sebanyak tak hingga kali, maka diperoleh

\displaystyle {{\left( 1+\frac{1}{\infty } \right)}^{\infty }}=\text{2}\text{,71828182845904523536028747135266249775724709369995}\ldots

Nilai inilah yang kemudian selanjutnya dikenal sebagai e. Nilai e banyak muncul di dalam kalkulus. Sama seperti bilangan pi (\displaystyle \pi ), bilangan e merupakan bilangan irasional yang tidak memiliki ujung.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s