Cara Mudah Menentukan Area Pertidaksamaan Soal Program Linear

Penyelesaian soal-soal program linear cukup panjang. Langkah yang harus dilakukan di antaranya:

  1. Memahami cerita di dalam soal.
  2. Membuat pemodelan persamaan/pertidaksamaan.
  3. Menggambar model matematika lalu menentukan area yang dikehendaki soal.
  4. Menjawab soal.

Langkah nomor 3 bisa dipermudah dengan bantuan aplikasi online Desmos. Artikel ini akan menunjukkan caranya.

Soal

Seorang penjahit mempunyai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat pakaian model I dan model II. Untuk model pakaian I memerlukan 1 m kain putih dan 3 m kain berwarna, sedangkan model pakaian I memerlukan 2 m kain putih dan 1 m kain berwarna. Apabila pakaian model I harganya Rp75.000,00 dan pakaian model II harganya Rp60.000,00, keuntungan maksimum yang diperoleh penjahit bila semua pakaian yang dibuat terjual habis adalah ….

A. Rp300.000,00

B. Rp375.000,00

C. Rp480.000,00

D. Rp750.000,00

E. Rp900.000,00

Sumber: Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2008/2009, Matematika (E-4.2), Kelompok Pariwisata, Seni, dan Kerajinana, Teknologi Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran, SMK/SMEA.

Jawab

Continue reading “Cara Mudah Menentukan Area Pertidaksamaan Soal Program Linear”

Advertisements

Download Soal dan Pembahasan Cepat Persiapan Ujian Nasional 2017 Matematika SMK Teknik

Kami sajikan di sini soal dan pembahasan Ujian Nasional 2016 Matematika Teknik SMK. Anda bisa melihat langsung di sini dalam format JPEG atau download file PDF-nya. Teknik pembahasan soal di sini banyak menggunakan metode mensortir pilihan ala bimbel sehingga tidak menggunakan rumus atau cara yang biasa digunakan di sekolah. Continue reading “Download Soal dan Pembahasan Cepat Persiapan Ujian Nasional 2017 Matematika SMK Teknik”

Manakah Yang Lebih Luas, Persegi Panjang Atau Segitiga Berisi 6 Lingkaran?

Semua lingkaran ini berukuran sama. Manakah yang lebih luas, persegi panjang ataukah segitiga?

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-1.jpg

Manakah yang lebih luas?

Jawaban:

Kita asumsikan bahwa semua lingkaran ini memiliki radius \displaystyle r.

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-2.jpg

Asumsikan semua lingkaran memiliki radius r

1. Menghitung Luas Persegi Panjang

Bagian ini lebih mudah. Dengan cepat, kita bisa memperoleh panjang dan lebar persegi panjang dalam \displaystyle r.

Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.
Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.

\displaystyle \text{Luas Persegi Panjang }=panjang\cdot lebar=6r\cdot 4r=24{{r}^{2}}

2. Menghitung Luas Segitiga

Bersiap-siap karena yang ini jauh lebih sulit.

Ini jelas lebih sulit.
Ini jelas lebih sulit.

Perhatikan bentuk ADFCKL yang terdiri dari dua segitiga identik (CKF dan LDA) dan sebuah persegi panjang LDFK.

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.
Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.

Perhatikan bahwa garis KF pasti tegak lurus pada sisi segitiga yang menyinggung lingkaran. Panjangnya sendiri adalah jari-jari lingkaran, \displaystyle r.

Menghitung luas persegi panjang LDFK.
Menghitung luas persegi panjang LDFK.

\text{Luas }LDFK=panjang\cdot lebar
=4r\cdot r
=4{{r}^{2}}

Garis CF memotong tepat di tengah-tengah sudut C. Karena sudut di segitiga sama kaki ini 60°, maka sudut KCF adalah 30°. Dengan aturan trigonometri dasar, kita bisa menghitung panjang setiap sisinya untuk kemudian menghitung luasnya.

Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.
Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.

\displaystyle \sin 30{}^\circ =\frac{KF}{CF}
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{r}{CF}
\displaystyle CF=2r

\displaystyle \sin 60{}^\circ =\frac{CK}{CF}
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{2r}
\displaystyle CK=\sqrt{3}r

\displaystyle \text{Luas }\vartriangle KFC=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot CK\cdot KF
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}r\cdot r
\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.
Luas bentuk ini, ADFCKL, adalah luas total dari dua segitiga identik dan persegi panjang.

Luas ADFCKL adalah:

\displaystyle \text{Luas }ADFCKL=\text{Luas }LDFK+\text{Luas }\vartriangle ADL+\text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =\text{Luas }LDFK+2\cdot \text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =4{{r}^{2}}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}

Selanjutnya adalah menghitung luas segitiga di bagian dalam. Kita cukup menggunakan aturan Phytaghoras untuk mencari tinggi segitiga.

Menghitung segitiga di bagian dalam.
Menghitung segitiga di bagian dalam.

D{{M}^{2}}+M{{F}^{2}}=D{{F}^{2}}
{{\left( 2r \right)}^{2}}+M{{F}^{2}}={{\left( 4r \right)}^{2}}
4{{r}^{2}}+M{{F}^{2}}=16{{r}^{2}}
M{{F}^{2}}=12{{r}^{2}}
MF=2\sqrt{3}r

Dengan rumus standar luas segitiga, kita peroleh luasnya.

\text{Luas }\vartriangle DEF=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot MF
=\frac{1}{2}\cdot 4r\cdot 2\sqrt{3}r
=4\sqrt{3}{{r}^{2}}

Untuk menghitung luas seluruh segitiga, kita cukup menggunakan informasi yang sudah ada. Bentuk ABED dan EBCF memiliki luas yang sama dengan bentuk ADFC

Menghitung luas seluruh segitiga.
Menghitung luas seluruh segitiga.

Luas\vartriangle ABC=3\cdot \text{Luas }ADFC+\text{Luas }\vartriangle DEF
\displaystyle =3\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3}+4\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+7\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}

Kesimpulan

Jadi, luas segitiga (\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}) sedikit lebih besar daripada persegi panjang (24{{r}^{2}}).

Soal Titik Stationer UMPTN 97

Kali ini, kami mengambil satu soal tentang titik stationer dari UMPTN 1997.

Soal:

Soal UMPTN 97
Soal UMPTN 97

Sebuah pintu berbentuk seperti tergambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan ….

A. \displaystyle \frac{p}{\pi }

B. \displaystyle p-\frac{\pi}{4}

C. \displaystyle \frac{p}{4+\pi}

D. \displaystyle \frac{p}{4}+\pi

E. \displaystyle \frac{p}{4\pi }

Jawab:

Kita mengetahui bahwa di atas persegi panjang terdapat setengah lingkaran, diameter lingkaran sama dengan lebar persegi panjang.  Jika kita asumsikan jari-jarinya adalah r, maka \displaystyle r=x.

Perhatikan jari-jari lingkaran.
Perhatikan jari-jari lingkaran.

Luas pintu adalah luas setengah lingkaran dan persegi panjang di bawahnya.

Luas persegi panjang: \displaystyle {{L}_{2}}=2xy

Luas setengah lingkaran: \displaystyle {{L}_{1}}=\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}

Luas total: \displaystyle L=2xy+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}

Sudah diketahui bahwa kelilingnya adalah p. Kita kaitkan dengan informasi yang telah ada sebelum ini, yaitu panjang persegi, lebar, dan keliling setengah lingkaran.

\displaystyle K=2x+2y+\pi x=p

Selanjutnya, kita bisa membuat persamaan untuk y.

\displaystyle 2y=p-2x-\pi x

Agar luas maksimum, turunan fungsi harus sama dengan nol. Sebelumnya, kita sederhanakan persamaan luas yang ada.

\displaystyle \begin{array}{l}L=2xy+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=x\cdot 2y+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=x\left( p-2x-\pi x \right)+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-2{{x}^{2}}-\pi {{x}^{2}}+\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-2{{x}^{2}}-\frac{1}{2}\pi {{x}^{2}}\\\text{ }=px-\left( 2+\frac{1}{2}\pi \right){{x}^{2}}\end{array}

Fungsi turunannya cukup sederhana.

\displaystyle \begin{array}{l}{L}'=p-2\left( 2+\frac{1}{2}\pi \right)x\\\text{ }=p-\left( 4+\pi \right)x\end{array}

Agar luasnya maksimum, nilai fungsi turunan harus dibuat nol.

\displaystyle \begin{array}{l}{L}'=0\\\Leftrightarrow \text{ }p-\left( 4+\pi \right)x=0\\\Leftrightarrow x=\frac{p}{4+\pi }\end{array}

Dari sini, kita temukan bahwa nilai x adalah \displaystyle x=\frac{p}{4+\pi }

Jawaban: C

Latihan Soal Geometri Olimpiade SMA

Kali ini, kami akan menyajikan satu soal setara olimpiade SMA dengan tema geometri.

SOAL:
Tersedia selembar kertas berukuran 100 cm × 50 cm. Dari kertas tersebut akan dibuat dua buah setengah lingkaran dengan jari-jari yang sama. Berapakah panjang maksimal jari-jari setengah lingkaran yang bisa dihasilkan?

JAWAB:

Langkah pertama adalah dengan menganalisa posisi terbaik kedua setengah lingkaran dalam kertas untuk menghasikan ukuran terbesar. Ternyata, setelah analisa singkat, ukuran maksimal akan kita temukan ketika kedua setengah lingkaran saling berhadapan seperti tergambar dalam gambar F.

Kemungkinan posisi setengah lingkaran dalam kertas.
Kemungkinan posisi setengah lingkaran dalam kertas.

Perlu dicatat bahwa sketsa-sketsa di atas menggunakan proporsi ukuran kertas sesuai dengan soal. Jika ukuran kertasnya berbeda, posisi optimal mungkin sekali akan berbeda pula.

Dari sini, kita akan memperoleh informasi seperti dalam gambar berikut. Diasumsikan bahwa jari-jari setengah lingkaran adalah r.

Ukuran maksimal.
Ukuran maksimal.

Sekarang kita mulai memasuki perhitungan. Yang cukup rumit adalah menentukan permodelan yang tepat. Untuk menemukan solusinya kita harus memanfaatkan sebanyak mungkin informasi yang telah dimiliki, yaitu tinggi kertas (50 cm), lebar kertas (100 cm), dan jari-jari setengah lingkaran (r).

Melalui gambar ada satu variabel lagi yang perlu dicari, yaitu x. Nilai x ini bisa kita bandingkan dengan info yang sudah ada sebelumnya menjadi displaystyle x=100-3r.

Mulai menghitung.
Mulai menghitung.

Melalui Teorema Pythagoras, kita bisa memperoleh persamaan berikut:

displaystyle {{50}^{2}}+{{left( x+r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}

Sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa displaystyle x=100-3r, maka

displaystyle begin{array}{l}{{50}^{2}}+{{left( left[ 100-3r right]+r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}\{{50}^{2}}+{{left( 100-2r right)}^{2}}={{left( 2r right)}^{2}}\2500+left( 10000-400r+4{{r}^{2}} right)=4{{r}^{2}}\12500-400r+4{{r}^{2}}=4{{r}^{2}}\12500=400r\r=frac{12500}{400}\therefore r=frac{125}{4}end{array}

Jadi, dari sebuah kertas berukuran 100 cm × 50 cm kita bisa membuat dua buah setengah lingkaran dengan jari-jari maksimalnya displaystyle frac{125}{4} cm.