Memperoleh Nilai e Melalui Bunga Majemuk

Nilai e bisa Anda pahami dalam cerita berikut yang berkaitan dengan tabungan dan bunga majemuk.

Anda menabung Rp1,00 di sebuah bank yang sangat dermawan. Setiap tahun, bank memberi Anda bunga 100%.

Setelah satu tahun, Anda memperoleh, Rp2,00. Pada tahun kedua, Anda memperoleh Rp4,00. Dan seterusnya.

  1. Tahun 1: \displaystyle 1,00\left( 1+100\% \right)=2,00

Bagaimana seandainya penghitungan bunga dibagi dua untuk setiap semester? Setiap 6 bulan, diberikan bunga \displaystyle \frac{100}{2}\%=50\%.

  1. Bulan ke-6: \displaystyle 1,00\left( 1+50\% \right)=1,50
  2. Bulan ke-12: \displaystyle 1,50\left( 1+50\% \right)=1,50+0,75=2,25

Continue reading “Memperoleh Nilai e Melalui Bunga Majemuk”

Advertisements

Cara Mengetahui Suatu Bilangan Adalah Prima

Misalkan, diketahui sebuah bilangan sembarang, x. Bagaimanakah mengetahui bahwa x adalah bilangan prima?

Bilangan prima adalah bilangan lebih dari 1 yang hanya bisa dibagi habis oleh 1 dan dirinya sendiri. Di antara bilangan prima adalah:

2, 3, 5, 7, 11, 13, ….

Bilangan 2 hanya habis dibagi oleh 1 dan 2.

Bilangan 3 hanya habis dibagi oleh 1 dan 3.

Bilangan 5 hanya habis dibagi oleh 1 dan 5.

dan seterusnya….

Untuk memeriksa apakah sebuah bilangan merupakan bilangan prima, setidaknya ada dua prinsip.

1. Cukup menghitung dengan bilangan prima

Misalnya, jika sebuah bilangan habis dibagi oleh 15, pasti bilangan tersebut habis dibagi oleh 3 dan 5 (faktor dari 15). Jadi, jika sebuah bilangan sudah diketahui tidak bisa dibagi oleh 3 dan 5, maka kita tidak perlu memeriksa hasil pembagiannya dengan 15.

2. Cukup menghitung bilangan prima sedikit lebih besar dari akarnya

Karena jika salah satu faktor lebih besar dari akarnya, faktor lain akan lebih kecil dan tentunya sudah anda hitung lebih dulu. Misalnya untuk menghitung status prima bilangan 100, kita tidak perlu membagi dengan bilangan 50 karena pembagian dengan bilangan 2 sudah dihitung lebih dulu. Continue reading “Cara Mengetahui Suatu Bilangan Adalah Prima”

Mengenal Pengetahuan Matematika Bangsa Mesir Kuno

Pengetahuan matematika bangsa Mesir Kuno saat itu sudah canggih. Kita bisa melihatnya dari Papyrus Rhind (1550 SM) dan Moscow Papyrus (200 tahun lebih tua) yang berisi 110 soal matematika.

Rhind Mathematical Papyrus, sumber: Wikipedia

Notasi penulisan angka Mesir Kuno menyerupai bangsa Romawi, berbasis desimal dengan simbol khusus untuk desimal yang lebih besar. Prinsipnya sama seperti Bangsa Romawi, misalnya MDCCCLXXVIII untuk 1878. Bangsa Mesir Kuno banyak menggunakan penjumlahan dan cenderung mengubah perkalian menjadi penjumlahan berulang. Misalnya untuk menghitung 13 × 11 dibagi menjadi perkalian satu, lalu dua, empat, dan delapan. Continue reading “Mengenal Pengetahuan Matematika Bangsa Mesir Kuno”

Poster Protes Unik Science vs Trump

Amerika sedang ricuh karena tidak sengaja memilih presiden baru yang tidak masuk akal. Para saintis pun protes karena kebijakannya yang tidak rasional, misalnya menuduh global warming hanya mitos, mendukung anti vaksin, dan mengurangi anggaran penelitian. Inilah poster protes unik yang dibawa.

protes-saintis-imajiner
Fakta alternatif adalah imajiner.

Catatan: \displaystyle \sqrt{-1} disebut sebagai bilangan imajiner.

Sumber: https://twitter.com/TomasWGreen/status/833364397485613062/photo/1

Humor Looping While

Sumber: Pinterest
Sumber: Pinterest

Ini seharusnya lucu, jika Anda paham algoritma pemrograman.

Seorang istri memanggil suaminya yang bekerja sebagai programmer lalu berkata “while you’re out, buy some milk (selagi keluar, belikan susu).”

Suaminya tidak pernah kembali ke rumah.

Penjelasan

Dalam pemrograman, do while termasuk salah satu pengulangan (looping) yang bertujuan untuk mengulang suatu perintah. Misalnya:

i = 1;

do {

   makan_soto();

} while (i = 1)

Perintah di atas akan memerintahkan untuk terus makan soto selama i bernilai 1. Yang terjadi adalah pertama kali diketahui bahwa terdapat variabel i bernilai 1. Selanjutnya, makan soto lalu cek nilai i. Jika i bernilai 1, maka kembali makan soto. Setelah makan, cek lagi nilai i. Jika masih bernilai 1, maka kembali makan soto. Kapan berhenti makan? Ketika nilai i tidak lagi 1 atau ketika kondisi while sudah salah (false). Untuk menghentikan perintah, maka perlu exit strategy. Misalnya

i = 0;

do {

   makan_soto();

   i = i + 1;

} while (i < 5)

Pertama kali diketahui bahwa terdapat variabel i bernilai 0. Selanjutnya, makan soto lalu cek nilai i. Begitu selesai, i bertambah 1, menjadi 1. Cek nilai i. Karena i kurang dari 5, maka kembali makan soto. Setelah makan, i bertambah satu menjadi 2, cek lagi nilai i. Proses terus berulang. Kapan berhenti makan? Ketika nilai i mencapai 5 atau ketika kondisi while sudah salah (false), yaitu tidak lagi kurang dari 5. Hasilnya, makan soto berulang selama 5 kali.

Kenapa Lucu?

Continue reading “Humor Looping While”

Nonton Film Ramanujan Yuk!

Srinivasa Iyengar Ramanujan adalah seorang matematikawan India yang luar biasa unik. Lahir di India di awal abad 19 yang saat itu merupakan jajahan Inggris, tanpa pendidikan formal, belajar matematika secara otodidak, tapi bisa menghasilkan berbagai teori baru di matematika. Bahkan, springer membuat satu jurnal khusus bernama The Ramanujan Journal yang membahas semua area matematika yang dipengaruhi oleh Ramanujan.

Ada dua film yang membahas biografi Ramanujan. Film tahun 2016, The Man Who Knew Infinity, dibintangi oleh Dev Patel (The Slumdog Millionare) dan Jeremy Irons (Batman v Superman: Dawn of Justice).

Film tahun 2014, Ramanujan, dibuat oleh orang India sendiri dengan pemain campuran India dan Inggris. Film ini lebih lucu dan tentunya disertai dengan joged khas Bollywood.

Penjelasan Sederhana Akar Bersarang (Nested Radicals) Ramanujan

Ramanujan
Ramanujan

Hitunglah nilai dari \displaystyle x=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\ldots }}}}!

Jawabannya adalah 3. Berikut buktinya:

Angka 3 bisa ditulis sebagai berikut:

\displaystyle 3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8}=\sqrt{1+2\cdot 4}

Sementara itu, angka 4 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 4=\sqrt{16}=\sqrt{1+15}=\sqrt{1+3\cdot 5}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}

Sementara itu, angka 5 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 5=\sqrt{25}=\sqrt{1+24}=\sqrt{1+4\cdot 6}

Sehingga diperoleh:

\displaystyle 3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}

Sementara itu, angka 6 bisa ditulis sebagai

\displaystyle 6=\sqrt{36}=\sqrt{1+35}=\sqrt{1+5\cdot 7}

Sehingga diperoleh: Continue reading “Penjelasan Sederhana Akar Bersarang (Nested Radicals) Ramanujan”

Soal Tes MIT 1869 Menghitung Panjang Sisi Segitiga

Soal berikut diklaim sebagai tes masuk ke MIT pada 1869. Bisakah Anda menghitungnya?

Hitung panjang yang bertanda "?"

Jawaban

Cara I: Teorema Phytagoras

2

Melalui teorema Phytagoras, kita peroleh.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\{{b}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 9+16 \right)}^{2}}\end{array}

Dengan menggabungkan ketiga persamaan di atas, kita peroleh

\displaystyle \begin{array}{l}{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 9+16 \right)}^{2}}\\\left( {{b}^{2}}+{{9}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}+{{16}^{2}} \right)={{9}^{2}}+2\cdot 9\cdot 16+{{16}^{2}}\\2{{b}^{2}}+{{9}^{2}}+{{16}^{2}}=2\cdot 9\cdot 16+{{9}^{2}}+{{16}^{2}}\\2{{b}^{2}}=2\cdot 9\cdot 16\\{{b}^{2}}=144\\b=\pm 12\end{array}

Karena panjang tidak mungkin negatif, maka

\displaystyle b=12

Selanjutnya, nilai lain bisa dihitung.

\displaystyle \begin{array}{l}{{b}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\{{12}^{2}}+{{9}^{2}}={{a}^{2}}\\225={{a}^{2}}\\\Rightarrow a=15\\{{b}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\{{12}^{2}}+{{16}^{2}}={{c}^{2}}\\400={{c}^{2}}\\\Rightarrow c=20\end{array}

Maka, panjang a, b, dan c adalah 15, 12, dan 20. Continue reading “Soal Tes MIT 1869 Menghitung Panjang Sisi Segitiga”

Peta Matematika

Ada banyak bagian matematika yang sesungguhnya semua saling berkaitan. Kecuali Anda super cerdas, mampu memahami mayoritas subjek, hubungan ini sepertinya akan samar. Video ini akan membahas mulai dari konsep perhitungan hingga perkembangannya ke kriptografi (enkripsi dan dan deskripsi yang digunakan agen rahasia), probabilitas (perjudian dan dadu), atau game theory (digunakan mulai dari interogasi Polisi hingga alasan Alfamart selalu berdampingan dengan Indomaret).

Peta matematika

Peta matematika

 

Sumber: http://www.sciencealert.com/this-mind-boggling-map-explains-how-everything-in-mathematics-is-connected-3