Manakah Yang Lebih Luas, Persegi Panjang Atau Segitiga Berisi 6 Lingkaran?

Semua lingkaran ini berukuran sama. Manakah yang lebih luas, persegi panjang ataukah segitiga?

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-1.jpg

Manakah yang lebih luas?

Jawaban:

Kita asumsikan bahwa semua lingkaran ini memiliki radius \displaystyle r.

luas-persegi-segitiga-berisi-lingkaran-2.jpg

Asumsikan semua lingkaran memiliki radius r

1. Menghitung Luas Persegi Panjang

Bagian ini lebih mudah. Dengan cepat, kita bisa memperoleh panjang dan lebar persegi panjang dalam \displaystyle r.

Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.
Cukup dengan perkalian panjang dan lebar.

\displaystyle \text{Luas Persegi Panjang }=panjang\cdot lebar=6r\cdot 4r=24{{r}^{2}}

2. Menghitung Luas Segitiga

Bersiap-siap karena yang ini jauh lebih sulit.

Ini jelas lebih sulit.
Ini jelas lebih sulit.

Perhatikan bentuk ADFCKL yang terdiri dari dua segitiga identik (CKF dan LDA) dan sebuah persegi panjang LDFK.

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.
Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.

Perhatikan bahwa garis KF pasti tegak lurus pada sisi segitiga yang menyinggung lingkaran. Panjangnya sendiri adalah jari-jari lingkaran, \displaystyle r.

Menghitung luas persegi panjang LDFK.
Menghitung luas persegi panjang LDFK.

\text{Luas }LDFK=panjang\cdot lebar
=4r\cdot r
=4{{r}^{2}}

Garis CF memotong tepat di tengah-tengah sudut C. Karena sudut di segitiga sama kaki ini 60°, maka sudut KCF adalah 30°. Dengan aturan trigonometri dasar, kita bisa menghitung panjang setiap sisinya untuk kemudian menghitung luasnya.

Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.
Sudut segitiga di salah satu titik sudut segitiga.

\displaystyle \sin 30{}^\circ =\frac{KF}{CF}
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{r}{CF}
\displaystyle CF=2r

\displaystyle \sin 60{}^\circ =\frac{CK}{CF}
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{CK}{2r}
\displaystyle CK=\sqrt{3}r

\displaystyle \text{Luas }\vartriangle KFC=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot CK\cdot KF
\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}r\cdot r
\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}

Perhatikan bentuk ini, ADFCKL, yang terdiri dari dua segitiga identik dan sebuah persegi.
Luas bentuk ini, ADFCKL, adalah luas total dari dua segitiga identik dan persegi panjang.

Luas ADFCKL adalah:

\displaystyle \text{Luas }ADFCKL=\text{Luas }LDFK+\text{Luas }\vartriangle ADL+\text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =\text{Luas }LDFK+2\cdot \text{Luas }\vartriangle KFC
\displaystyle =4{{r}^{2}}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}

Selanjutnya adalah menghitung luas segitiga di bagian dalam. Kita cukup menggunakan aturan Phytaghoras untuk mencari tinggi segitiga.

Menghitung segitiga di bagian dalam.
Menghitung segitiga di bagian dalam.

D{{M}^{2}}+M{{F}^{2}}=D{{F}^{2}}
{{\left( 2r \right)}^{2}}+M{{F}^{2}}={{\left( 4r \right)}^{2}}
4{{r}^{2}}+M{{F}^{2}}=16{{r}^{2}}
M{{F}^{2}}=12{{r}^{2}}
MF=2\sqrt{3}r

Dengan rumus standar luas segitiga, kita peroleh luasnya.

\text{Luas }\vartriangle DEF=\frac{1}{2}\cdot alas\cdot tinggi
=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot MF
=\frac{1}{2}\cdot 4r\cdot 2\sqrt{3}r
=4\sqrt{3}{{r}^{2}}

Untuk menghitung luas seluruh segitiga, kita cukup menggunakan informasi yang sudah ada. Bentuk ABED dan EBCF memiliki luas yang sama dengan bentuk ADFC

Menghitung luas seluruh segitiga.
Menghitung luas seluruh segitiga.

Luas\vartriangle ABC=3\cdot \text{Luas }ADFC+\text{Luas }\vartriangle DEF
\displaystyle =3\left( 4+\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3} \right){{r}^{2}}+4\sqrt{3}{{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+3\sqrt{3}+4\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =\left( 12+7\sqrt{3} \right){{r}^{2}}
\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}

Kesimpulan

Jadi, luas segitiga (\displaystyle =24.124355653{{r}^{2}}) sedikit lebih besar daripada persegi panjang (24{{r}^{2}}).

Advertisements

Membuat 3D Sierpinski Gasket di Second Life

Tulisan ini masih berhubungan dengan tulisan sebelumnya, “Matematika di Dunia Virtual Second Life “. Seperti yang telah saya utarakan bahwa Second Life saat ini telah banyak dimanfaatkan untuk keperluan pendidikan dan pembelajaran. Mulai dari sains, bahasa, ilmu sosial dan ekonomi, dan sebagainya.

Saat ini pun saya masih belajar bagaimana agar platform ini bisa dimanfaatkan untuk keperluan pembelajaran matematika. Salah satu eksplorasi yang saya lakukan adalah mengunjungi beberapa sim edukasi terutama yang berhubungan dengan sains termasuk matematika.

Satu yang menarik perhatian saya diantaranya adalah area ekshibisi di sim milik The University of Western Australia. Dengan kemampuan building pas-pas an, saya mencoba meniru satu objek yang ada di sana, yaitu 3D Sierpinski Gasket.

3D Sierpinski Gasket di WASP Island

Continue reading “Membuat 3D Sierpinski Gasket di Second Life”

Mengenal Bangun Ruang- Limas

The Great Pyramid of Giza

Siapa yang tidak tahu bangunan terkenal di atas?

Bangunan itu dinamakan The Great Pyramid, berada di Giza Mesir. Apa yang akan kita pelajari sekarang ada kaitannya dengan bentuk bangunan di atas. Ya, kita akan sedikit mengupas topik geometri 3-Dimensi, yaitu mengenai salah satu contoh bangun ruang yang bentuknya seperti gambar di atas.

Berikut ini adalah materi bangun ruang (limas dan kerucut) Sekolah Dasar yang disajikan dalam animasi video. Dengan tampilan animasi 3-Dimensi sesuai untuk anak usia Sekolah Dasar yang masih dalam tahap visual.

Materinya dijelaskan secara singkat dan sederhana.

Definisi Limas

Apa itu Limas?

Limas adalah bangun 3-Dimesi yang dibatasi oleh bangun segitiga sebagai sisi tegaknya. Kita biasa menyebutnya sebagai bangun ruang. Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.

Unsur-unsur Limas

Bagian atau unsur-unsur limas bisa kita amati pada video berikut ini.

https://dl.dropbox.com/u/9266921/unsur%20limas.swf

Dari animasi di atas kamu bisa membuat jaring-jaring limas jika kamu ingin membuat limasmu sendiri di rumah.

Sebuah limas dinamai sesuai dengan bentuk alas yang dimilikinya. Berikut adalah jenis atau macam-cama limas.

Jenis-jenis Limas

Berdasarkan bentuk alasnya ini, limas dinamai dengan limas segi-n.

https://dl.dropbox.com/u/9266921/jenis%20limas.swf

Sementara berdasarkan keteraturan bidang alas dan kedudukan titik puncaknya, limas dibedakan menjadi limas beraturan dan limas sembarang.

https://dl.dropbox.com/u/9266921/Jenis%20Limas%202.swf

Limas beraturan memiliki bidang alas berbentuk segi-n beraturan, dan proyeksi titik puncaknya berada tepat di tengah bidang alas.

Limas sembarang memiliki bidang alas berbentuk segi-n yang tidak beraturan dan proyeksi titik puncaknya sembarang.

Volume Limas

Untuk mengetahui formula atau rumus volume limas, terlebih dahulu perhatikan video animasi berikut ini.

https://dl.dropbox.com/u/9266921/Volume%20Limas.swf

Terlihat, bahwa volume limas adalah seperenam volume kubus. Jika panjang rusuk kubus s, maka tinggi limas adalah setengah dari s atau t= frac{s}{2} dengan t = tinggi limas.

Catatan: Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke bidang alas.

Sehingga diperoleh:

Vlimas = Vkubus/6
Vlimas = frac{s^3} {6}
Vlimas = frac{1} {3} . s^2 . frac{s} {2}
Vlimas = frac{1} {3} . Luas alas. tinggi

atau

Vlimas = frac{1}{3} . L . t

Irisan Bidang pada Bangun Ruang

Ini adalah sebagian video lama yang saya buat bersama suami berkaitan dengan materi “Irisan Bidang pada Ruang”. Video semacam ini tentunya bisa digunakan sebagai media belajar dan tentu saja bisa digunakan di dalam kelas. Merupakan bentuk pembelajaran berbasis komputer (CAI) model simulasi.

Animasi yang pertama menggambarkan beberapa prinsip pembuatan sebuah bidang secara umum. Prinsip-prinsip ini dipakai ketika Anda akan mencari irisan bidang pada sebuah bangun ruang. Tentunya dibantu prinsip-prinsip lainnya.

Aturan berikutnya yang juga harus dipahami adalah beberapa prinsip kedudukan tiga buah bidang pada ruang. Anda bisa lihat animasi video berikut ini Continue reading “Irisan Bidang pada Bangun Ruang”

Menggambar Garis dan Lingkaran

Jangka dan Penggaris

Setidaknya ada dua alat yang harus kita siapkan jika kita akan menggambar lingkaran. Alat itu ialah penggaris dan jangka. Kedua alat itu bisa dengan mudah ditemui di toko-toko penjual ATK (Alat Tulis Kantor). Sementara untuk menggambar sebuah garis cukup dengan penggaris saja.

Clip 4 copy

Menggambar Segmen Garis

Sekarang kita akan belajar cara menggambar sebuah garis. Untuk menggambar sebuah garis tentunya kita harus menggunakan sebuah penggaris agar garis yang kita buat itu benar-benar lurus. Dengan penggaris, kita juga bisa membuat sebuah garis dengan ukuran yang dikehendaki.

Sebuah segmen garis overline{AB} adalah segmen garis dimulai dari titik A dan berakhir di titik B. Sebuah segmen garis tidak memiliki arah. Jadi, garis overline{AB} itu sama dengan garis overline{BA}

Clip 6

Continue reading “Menggambar Garis dan Lingkaran”

Matematika untuk Hiburan

Seseorang menaruh sepasang kelinci yang semua sisinya dibatasi dinding. Berapa banyak pasang kelinci dapat dihasilkan dari pasangan tersebut dalam setahun jika diandaikan setiap bulan tiap pasangan beranak satu pasangan baru yang mulai produktif pada bulan ke dua dan seterusnya.

Tahukah Anda, permasalahan kelinci di atas telah mengilhami Fibonacci dalam menemukan “Deret Fibonacci” yang terkenal itu?

Leonardo Pisa alias Fibonacci lahir pada tahun 1175 M. Ia berperan penting dalam memperkenalkan angka India ke Eropa dari orang Arab selama kunjungannya ke Afrika. Fibonacci menjadi terkenal dengan penemuannya itu. Continue reading “Matematika untuk Hiburan”